Три задачи, которые постоянно путают: важен ли порядок и можно ли повторять элементы. Ответ на эти два вопроса и определяет формулу.
Из 10 человек выбрать 3 в комиссию — сочетания, 120 вариантов: неважно, в каком порядке их назвали. Выбрать из тех же 10 председателя, зама и секретаря — размещения, 720 вариантов: здесь порядок меняет результат. Разница ровно в 3! = 6 раз — это число перестановок внутри тройки.
Потому что существует ровно один способ ничего не выбирать и один способ упорядочить пустое множество. Такое определение делает формулы согласованными.
Когда один элемент можно брать несколько раз: например, выбрать 3 шарика мороженого из 10 вкусов, разрешая одинаковые. Формула — C(n+k−1, k).